<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          8 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 8 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2010
          Rua Henrique Schaumannn, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
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          Tel.: PABX (011) 3613-3000 
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          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                               I
Sumrio 

Quinta Parte

Unidade 6

Produtos notveis, 
  fatorao e fraes 
  algbricas ::::::::::::::: 437
1 -- Produtos notveis ::: 441
Quadrado da soma de 
  dois termos :::::::::::::: 441
Quadrado da diferena de 
  dois termos :::::::::::::: 453
Produto da soma pela 
  diferena de dois 
  termos ::::::::::::::::::: 466
Produto do tipo 
  `(x+a`).`(x+b`) :::::::::::::: 473
Cubo da soma de dois 
  termos ::::::::::::::::::: 481
Cubo da diferena de 
  dois termos :::::::::::::: 484
2 -- Fatorao de 
  polinmios ::::::::::::::: 494
3 -- Casos de 
  fatorao :::::::::::::::: 501
Fator comum em 
  evidncia :::::::::::::::: 501
Fatorao por 
  agrupamento :::::::::::::: 507
Fatorao da diferena 
  de dois quadrados :::::::: 516
4 -- Fatorao de 
  trinmios :::::::::::::::: 520
Trinmio quadrado 
  perfeito ::::::::::::::::: 520
Trinmio do 2 grau :::::: 523
5 -- Fraes 
  algbricas ::::::::::::::: 541
Simplificao de fraes 
  algbricas ::::::::::::::: 543
Mnimo mltiplo comum 
  `(m.m.c.`) ::::::::::::::::: 551
6 -- Operaes com 
  fraes algbricas ::::::: 555
Adio e subtrao :::::::: 555
Multiplicao e diviso ::: 559
Leitura + (mais) :::::::: 564
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 566

<152>
<ti. d. mat. 8 ano>
<T+437>
 Unidade 6

 Produtos notveis, fatorao 
  e fraes algbricas

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Referncia aos matemticos gregos, na obra *A escola de Atenas*, de Rafael.
<R->

  Na Grcia antiga, problemas como elevar uma soma ao quadrado foram resolvidos aritmeticamente e depois generalizados algebricamente, por meio de mtodos geomtricos.
  Tanto a soluo aritmtica quanto a algbrica foram encontradas utilizando-se reas de quadrados e retngulos, resultando em produtos de binmios.
<P>
Quadrado da soma.

<F->
     x        1
!:::::::::::w:::: ,, 
l                _   _ 
l                _ 1_
l                _  ,w
l                _   _
l                _   _ 
l   x+12    _   _ x
l                _   _
l                _   _ 
l                _   _
h::::::::::::::::j ,,j

 x+12=x+1.x+1
<P>	
      x       1
!:::::::::::w:::: ,, 
l           _    _   _ 1
l     x     _ 1 _   _
r:::::::::::w::::w   w
l           _    _   _
l           _    _   _ 
l           _    _   _ x
l    x2   _  x _   _
l           _    _   _ 
l           _    _   _
h:::::::::::j::::j ,,j

x2+2x+1=`(x+1`)2
<F+>

<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
 Um cubo de aresta x+1 e embaixo est escrito: "Cubo da soma -- `(x+1`)3=`(x+1`).`(x+1`).`(x+1`)". Ao lado, este cubo est dividido em paraleleppedos e embaixo est escrito: "x3+3x2+3x+
  +1=`(x+1`)3".
<R->

  Compondo e decompondo retngulos, quadrados e cubos em outras figuras, temos uma interpretao geomtrica de produtos e da fatorao de polinmios. Segundo essa interpretao, o polinmio  a rea ou o volume da figura e os fatores so seus lados.
  Algumas solues para problemas expressos por polinmios em Matemtica so determinadas se conseguirmos decomp-los em um produto de fatores, especialmente se esse produto for o resultado da multiplicao de um binmio por outro.
  Nesta unidade estudaremos os produtos notveis, a fatorao de polinmios e as fraes algbricas, que permitem generalizar alguns procedimentos do clculo algbrico.
<R+>
  Escreva em seu caderno uma sugesto para o clculo de `(a+b`)2.
  A propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio pode ser aplicada no clculo do produto do binmio x+a pelo binmio x-a. Explique como isso pode ser feito.
<R->
<154>
 1 -- Produtos notveis

  Alguns produtos, resultados da multiplicao de binmio por binmio, so chamados de produtos notveis, por suas frequentes aplicaes nos clculos algbricos.
  Analise os problemas a seguir, nos quais estudaremos alguns desses produtos e procedimentos para a obteno de cada um deles.

 Quadrado da soma de dois termos

  As letras *a* e *b* representam as medidas dos lados desta figura.
<P>
<F->
  P    a     b T
  !::::::::w:::::  
  l        _     _   
a l        _     _   
  l        _     _
  l        _     _   
  r::::::::j     _   
  l              _  
  l              _ 
b l              _ 
  l              _    
  h::::::::::::::j
  R    a+b     S 
<F+>

 Medidas na mesma unidade.

<R+>
 wr
  Que potncia de `(a+b`) representa a rea do quadrado {p{r{s{t?
  Que polinmio representa essa rea?
<R->

  A rea do quadrado {p{r{s{t  representada pela potncia `(a+b`)2. O polinmio que representa essa rea pode ser determinado usando-se reas de quadrados e retngulos. Observe as duas figuras:

_`[{o menino diz_`]
  "{p{r{s{t  um quadrado de rea igual a `(a+b`)2."

<F->
P            T
!:::::::::::::: ,, 
l              _   _
l              _   _
l              _ a _ 
l              _   _  
l    a+b2  _   _ `(a+b`)
l                 _
l              _   _
l              _ b _ 
l              _   _  
h::::::::=:::::j ,,j
R    a     b S
r::::::::::::::w
     `(a+b`)
<F+>
<P>
_`[{a professora diz_`]
  "Decompomos {p{r{s{t em quadrados e retngulos."

<F->
P            T
!::::::::::::: ,,, 
l        _     _    _
l        _     _    _
l   a2 _ a.b _ a  _
l        _     _    _
r::::::::w:::::w    _ a+b
l        _     _    _ 
l a.b    _ b2_ b  _
l        _     _    _
h::::::::j:::::j ,,,j
R    a     b S
r::::::::::::::w
     a+b
<F+>

 rea de {p{r{s{t=`(a+b`)2

  Na decomposio feita, temos:
<R+>
  dois quadrados: um com lados medindo *a* e outro com lados medindo *b*; suas reas so a2 e b2, respectivamente;
<P>
  dois retngulos iguais com lados medindo *a* e *b*. A rea de cada um deles  a.b.
<R->
  Adicionamos as reas das partes e obtemos:

 rea de {p{r{s{t=a2+a.b+a.b+
  +b2=a2+2ab+b2.

  Como os dois quadrados menores e os dois retngulos compem o quadrado {p{r{s{t, conclumos que: 

 `(a+b`)2=a2+2ab+b2
 `(a+b`)2  um produto notvel.

<155>
  Podemos tambm calcular `(a+b`)2 efetuando o produto `(a+b`).`(a+b`) usando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  soma algbrica:

 `(a+b`)2=`(a+b`).`(a+b`)=a.`(a+b`)+
  +b.`(a+b`)=a2+a.b+b.a+b2=a2+
  +2ab+b2
<P>
  Ou, ainda, usando o esquema da multiplicao de polinmios:

<F->
             a+b
            a+b
       :::::::::
         ab+b2
+        a2+ab
::::::::::::::::
 a2+2ab+b2
<F+>

  Na prtica:

 `(a+b`)2=a2+2ab+b2
<R+>
 a -- 1 termo
 b -- 2 termo
 a2 -- quadrado do primeiro termo
 2ab -- duas vezes o 1 termo pelo 2 termo
 b2 -- quadrado do 2 termo
<R->

  O polinmio a2+2ab+b2  um trinmio e  chamado, tambm, de trinmio quadrado perfeito, porque  igual ao quadrado de a+b.
  Veja outros exemplos:
<P>
<R+>
  Calcule `(a+3b`)2 utilizando reas de quadrados e retngulos.
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "{a{b{c{d  um quadrado cujo lado mede `(a+3b`)."

<F->
       a+3b
r:::::::::::::::::w
A   a      3b D
!::::::::::::::::  ,,, 
l        _        _     _
l   a2 _ 3ab  _ a   _
l        _        _     _
r::::::::w::::::::w     _ a+3b
l        _        _     _ 
l 3ab  _ 9b2_ 3b_
l        _        _     _
l        _        _     _
l        _        _     _
h::::::::j::::::::j  ,,,j
B               C     
<F+>

 rea de {a{b{c{d=
  =`(a+3b`)2
 rea de {a{b{c{d=a2+3ab+
  +3ab+9b2
 `(a+3b`)2=a2+6ab+9b2
 `(a+3b`)2=a2+6ab+9b2

<R+>
  Calcule `(x~2+5`)2, utilizando a regra prtica. Em x~2+5, o 1 termo  x~2 e o 2 termo, 5:
<R->

 `(x~2+5`)2=`(x~2`)2+2.x~2.
  .5+52=x2~4+5x+25
`(x~2+5`)2=`(x~2`)2+1.x~1.
  .5+52=x2~4+5x+25
 `(x~2+5`)2=x2~4+5x+25

<R+>
 O quadrado da soma de dois termos  igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo e mais o quadrado do segundo termo.
<R->

<156>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. Represente as potncias a seguir por meio de desenhos, usando a decomposio de figuras em quadrados e retngulos. Em seguida, escreva a expresso desenvolvida para a rea das figuras desenhadas.
 a) `(x+2`)2 
 b) `(2a+1`)2

 2. Calcule `(4b+#,b`)2 utilizando reas de quadrados e retngulos.
 3. Desenhe uma tabela como esta e complete-a:
<P>
<F->
_`[{tabela adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Quadrado do binmio
2 coluna: Quadrado do 1 termo
3 coluna: 2 vezes o 1 termo pelo 2 termo
4 coluna: Quadrado do 2 termo
5 coluna: Resultado

!::::::::::::::::::::::::::::
l x+2y2 _ '''_ '''_ '''_ '''_
r::::::::::::w::::w::::w::::w::::w
l m2+n2_ '''_ '''_ '''_ '''_
h::::::::::::j::::j::::j::::j::::j
<F+>

 4. Determine os quadrados das somas:
 a) `(y3+6`)2
 b) `(4x3+x`)2
 c) `(x~3+y`)2
 d) `(y2~4+y`)2

 Problema resolvido

 5. Ao resolver um problema, Alberto obteve o resultado `(x+2y`)2-`(2x+y`)2. Mas, ao conferir sua resposta com a que a professora forneceu, ficou surpreso, pois esta indicava -3x2+3y2. Como Alberto poderia chegar a esse resultado? Efetuamos as potncias e reduzimos os termos semelhantes:

 `(x+2y`)2-`(2x+y`)2=x2+4xy+
  +4y2-`(4x2+4xy+y2`)=
  =x2+4xy+4y2-4x2-4xy-
  -y2=x2-4x2+4y2-y2=
  =-3x2+3y2
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Simplificando o resultado..."

 `(x+2y`)2-`(2x+y`)2=-3x2+
  +3y2

<R+>
 Resposta: Alberto poderia chegar a esse resultado efetuando as potncias e reduzindo os termos semelhantes.

 6. Que polinmio obtemos quando efetuamos as potncias e os produtos e reduzimos os termos semelhantes da expresso `(2+a`)2-2~a.`(2-2a`)?

 Troque ideias e resolva
<R->

  As reas dos quadrados nesta figura so a2 e 49.

<F->
A             D
!::::::::::::::  
l      _        _     
l a2 _        _      
l      _        _     
r::::::w::::::::w  
l      _        _  
l      _  49   _
l      _        _  
l      _        _ 
h::::::j::::::::j 
B             C     
<F+>

<R+>
  Que polinmio representa a rea do quadrado {a{b{c{d?
  Esse polinmio  o resultado de que produto notvel?
<R->

<157>
<P>
 Quadrado da diferena de dois 
  termos

  As letras *a* e *b* representam as medidas dos lados desta figura.
  Essas medidas esto na mesma unidade.

<F->
                a
    r:::::::::::::::::::w
    E          M  b  L
    !:::::::::::w::::::: ::  
    l           _       _   _
  b l           _       _   _   
    l         N_       _   _
 F r:::::::::::w:::::::wJ _
    l           _       _   _
    l           _       _   _ a
a-b l           _       _   _
    l           _       _   _
    l           _       _   _
    l           _       _   _
    l           _       _   _
    h:::::::::::j:::::::j ::j
    G   a-b    H  b  I
<F+>
<P>
<R+>
 wr
  Utilize uma potncia para representar a rea do quadrado {f{g{h{n.
  Que polinmio representa essa rea? 
<R->
 
  Representamos a rea do quadrado {f{g{h{n pela potncia `(a-b`)2 e o polinmio correspondente pode ser determinado destes modos:
<R+>
  Usando reas de quadrados e retngulos.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "{e{g{i{l, {f{g{h{n e {m{n{j{l so quadrados... ... {e{f{n{m e {n{h{i{j so dois retngulos iguais."
<P>
<F->
                a
    r:::::::::::::::::::w
    E          M  b  L
    !:::::::::::w::::::: ::  
    l           _       _   _
  b l b.`(a-b`)   _ b2  _   _   
    l         N_       _   _
 F r:::::::::::w:::::::wJ _
    l           _       _   _
    l           _       _   _ a
a-b l           _       _   _
    l `(a-b`)2  _b.`(a-b`)_   _
    l           _       _   _
    l           _       _   _
    l           _       _   _
    h:::::::::::j:::::::j ::j
    G   a-b    H  b  I
<F+>

<R+>
 rea de {f{g{h{n=`(a-b`)2
 rea de {f{G{h{n= rea de {e{g{i{l- rea de {e{f{n{m- rea de {n{h{i{j- rea de {m{n{j{l
<R->
<P>
 `(a-b`)2=a2-b.`(a-b`)-b.`(a-b`)-
  -b2
 `(a-b`)2=a2-b.a+b2-b.a+b2-
  -b2
 `(a-b`)2=a2-2.a.b+b2
 `(a-b`)2=a2-2ab+b2
 `(a-b`)2  um produto notvel.

<R+>
  Usando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  soma algbrica.
<R->

 `(a-b`)2=`(a-b`).`(a-b`)=a.
  .`(a-b`)-b.`(a-b`)=a2-a.b-b.
  .a+b2=a2-2ab+b2

<158>
  Na prtica:

 `(a-b`)2=a2-2ab+b2
<R+>
 a -- 1 termo
 b -- 2 termo
 a2 -- quadrado do 1 termo
 2ab -- duas vezes o 1 termo pelo 2 termo
 b2 -- quadrado do 2 termo
<R->
<P>
  O polinmio a2-2ab+b2  um trinmio e  chamado, tambm, de trinmio quadrado perfeito, porque  igual ao quadrado de `(a-b`).
  Veja outro exemplo:
  Desenvolva `(y3-#,dy`)2 usando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  soma algbrica.

 `(y3-#,dy`)2=`(y3-#,dy`).
  .`(y3-#,dy`)=y3.y3-y3.
  .#,dy-#,dy.y3+#,dy.#,dy=
  =y6-#,dy4-#,dy4+#,afy2=
  =y6-2.#,dy4+#,afy2=y6-
  -#,by4+#,afy2

<R+>
 O quadrado da diferena de dois termos  igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo e mais o quadrado do segundo termo.
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 7. Represente as potncias a seguir por meio de desenhos, usando a decomposio de figuras em quadrados e retngulos. Depois, escreva a expresso desenvolvida da rea das figuras desenhadas.
 a) `(x-3`)2 
 b) `(2a-1`)2

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 8. Desenhe uma tabela como esta e complete-a.

<F->
_`[{tabela adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Quadrado do binmio
2 coluna: Quadrado do 1 termo
3 coluna: 2 vezes o 1 termo pelo 2 termo
<P>
4 coluna: Quadrado do 2 termo
5 coluna: Resultado

::::::::::::::::::::::::::::::
x2-2y2_ '''_ '''_ '''_ ''' 
:::::::::::::w::::w::::w::::w:::::
x3-3x2_ '''_ '''_ '''_ ''' 
:::::::::::::j::::j::::j::::j:::::
<F+>

 9. Determine o quadrado da diferena:
 a) `(2-ab3`)2 
 b) `(9y-y3`)2 
 c) `(2xy~9-xy2~4`)2
 d) `(0,2m2-5t4`)2

 10. Represente o polinmio `(x-3`)2-3.`(3-2x`) na forma reduzida.
 11. Efetue os clculos e obtenha a forma reduzida de `(2n+9`)2-`(2n-1`)2.

<159>
 Problema resolvido

 12. Que monmio deve ser adicionado ao binmio `(4a2+
  +4ab2`) para obter `(2a+
  +b2`)2? Calculando o produto notvel `(2a+b2`)2 temos `(2a`)2+2.2a.b2+
  +`(b2`)2, que  igual a 4a2+4ab2+b4. Comparamos esse resultado com o binmio 4a2+4ab2:

 `(2a+b2`)2=4a2+4ab2+
  +b4
 binmio -- 4a2+4ab2
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "O binmio no tem o termo b4."

<R+>
 Resposta: O monmio que deve ser adicionado a 4a2+4ab2  b4.

 13. Que monmio deve ser adicionado ao binmio `(a4-a3`) para obter `(a2-1~2a`)2?
<P>
 Problema resolvido

 14. Que monmio deve ser subtrado do binmio x4+9y2 para obter `(x2-3y`)2? Vamos representar o monmio desconhecido pela letra M. Assim:

 `(x4+9y2`)-M=`(x2-3y`)2
 `(x4+9y2`)-`(x2-3y`)2=M
 ou M=`(x4+9y2`)-`(x2-3y`)2
 Quadrado da diferena
 M=x4+9y2-`(x4-6x2y+
  +9y2`)
 M=x4+9y2-x4+6x2y-9y2
 M=6x2y

 Resposta: O monmio que deve ser subtrado do binmio `(x4+9y2)  6x2y.

 15. Que monmio deve ser subtrado do trinmio x2-2xy+4y2 para que ele seja o quadrado de `(x-2y`)?
<P>
 Problema resolvido

 16. Se y2+n2=53 e yn=14, determine o valor de `(y+n`)2. Desenvolvemos o produto notvel `(y+n`)2:

 `(y+n`)2=y2+2yn+n2=y2+
  +n2+2yn=53+28=81

 Resposta: O valor de `(y+n`)2  81.

 17. Se a.b=96 e a2+b2=208, responda:
 a) Quais so os valores de *a* e *b*? 
 b) Qual  o quadrado da soma desses nmeros?

<160>
 18. Consulte as informaes dadas e encontre o valor de `(2m+n`)2.

 4m2+n2=85
 mn=-21
<P>
 19. Sabendo que m2+n2=52 e m.n=24, responda:
 a) Que expresso algbrica corresponde a `(m-n`)2?
 b) Qual  o valor dessa expresso?

 20. Dados A=3x-1 e B=3x+1, calcule:
 a) A2-B2 
 b) `(A-B`)2
<R->

 Troque ideias e resolva

  O produto de dois nmeros positivos  igual a 12 e a soma de seus quadrados  25.
<R+>
  Quais so esses nmeros?
  Qual  o quadrado da soma desses nmeros?
<R->
  O produto de dois nmeros  igual a 36 e a soma de seus quadrados  97.
<R+>
  Qual  o quadrado da diferena desses nmeros?
<R->
<P>
 Seo + (mais)

 Nmeros que terminam em 5 e o 
  clculo mental

  O quadrado de qualquer nmero que termina em 5 termina em 25.

_`[{a professora diz_`]
  "Voc tem dvidas?"

<R+>
  Ento, experimente com estes nmeros:

<F->
!::: !::: !::: !:::
l15_ l25_ l35_ l85_
h:::j h:::j h:::j j:::j
                      !:::
Este voc escolhe :> l..._
                      h:::j 
<F+> 

  A que concluso voc chegou? E seus colegas?
<R->

  Podemos calcular, mentalmente, os quadrados de nmeros que terminam em 5. Veja alguns exemplos:

<R+>
 852=7.225
 72 -- 8"`(8+1`)=8"9 -- produto de 8 pelo seu sucessor
 7.225 -- termina em 25

 952=9.025
 90 -- 9"`(9+1`)=9"10 -- produto de 9 pelo seu sucessor
 9.025 -- termina em 25
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Acompanhe a justificativa desse recurso usando produtos notveis."

 952=`(90+5`)2=902+2.90.
  .5+52
 952=8.100+900+25
 952=9.000+25
 952=9.10.#ajj+25 
 9.10 -- 9.`(9+1`)
 25 -- termina em 25
 952=9.025
<P>
 Calcule estes mentalmente:

<F->
!:::::: !::::::: !::::::: 
l452_ l1052_ l1952_ 
h::::::j h:::::::j h:::::::j 
<F+>

<161>
 Produto da soma pela diferena 
  de dois termos

_`[{o menino diz_`]
  "Que expresso algbrica  o produto de a+b por a-b?"

_`[{a menina diz_`]
  "a+b  uma soma..."

_`[{outro menino diz_`]
  "...a-b  uma diferena!"

  Podemos calcular aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  soma algbrica:

 `(a+b`).`(a-b`)=a.`(a-b`)+b.
  .`(a-b`)=a2-a.b+b.a-b2=a2-
  -b2
<P>
  Na prtica:

 `(a+b`).`(a-b`)=a2-b2
 a2 -- quadrado do 1 termo
 b2 -- quadrado do 2 termo

 `(a+b`).`(a-b`)  um produto notvel.

<R+>
 O produto da soma de dois termos pela diferena desses mesmos termos  igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo.
<R->

  Note que em a2-b2 os termos representam quadrados de nmeros reais e, por isso, dizemos que a2-b2  uma diferena de quadrados.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 21. Desenhe uma tabela como esta e complete-a:

<F->
_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Produto da soma pela diferena
2 coluna: Quadrado do 1 termo
3 coluna: Quadrado do 2 termo
4 coluna: Resultado

:::::::::::::::::::::::::::::::
a2-b.a2+b _ '''_ '''_ '''  
:::::::::::::w::::w::::w::::w:::::
2+xy.2-xy   _ '''_ '''_ ''' 
::::::::::::::::::j::::j::::j:::::
<F+>

<162>
 22. Calcule o produto de `(x+#,b`) por `(x-#,b`). 
 23. Sabe-se que P=x2y-xy2 e Q=x2y+xy2. Qual  o polinmio P.Q?
 24. Efetue os produtos notveis e reduza os termos semelhantes da expresso:

 `(6b+#,b`)2-`(6b-#,b`)2-
  -`(6b-#,b`).`(6b+#,b`)
<P>
 25. Represente esta expresso do quadro em uma forma reduzida.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::
l`(am2-m3)2-`(a2m4+m6`)+_
l  +am2.`(1+m3`)2           _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 26. Efetuando as operaes indicadas e reduzindo os termos semelhantes desta expresso, que resultado se obtm?

 `(x2-y2`)2-`(x2+y2`).
  .`(x2-y2`)+2x2y2

 27. Que expresso se deve adicionar a `(a2+b4`) para se obter o quadrado de `(a-b2`)?
 28. Se A=2m2-m e B=m2-5m, qual  o resultado da diferena A2-B2?
 29. O produto de um binmio por `(2a+y2`)  igual a `(4a2-y4`). Que binmio  esse?
<P>
 Problema resolvido

 30. Que polinmio  o produto de `(a+b`)+1] por `[`(a+b`)-1]? 

 `[`(a+b`)+1].`[`(a+b`)-1]  o produto da soma de `(a+b`) com 1 pela diferena desses termos.  um produto notvel.
<R->

_`[{o professor mostra na lousa_`]
  "`[`(a+b`)+1].`[`(a+b`)-1]"

<R+>
 `[`(a+b`)+1].`[`(a+b`)-1]=
  =`(a+b`)2-12
 `(a+b`) -- 1 termo
 1 -- 2 termo
 `(a+b`)2 -- quadrado do 1 termo
 12 -- quadrado do 2 termo

 `[`(a+b`)+1`].`[`(a+b`)-1`]=a2+2ab+
  +b2-1

 Resposta: O produto de `[`(a+b`)+1`] por `[`(a+b`)-1`]  a2+2ab+b2-1.
<P>
 31. Consulte este quadro e calcule o valor de m2-n2.

<F->
!:::::::
lm+n=22_
lm-n=-2_
h:::::::j
<F+>

 32. A soma de dois nmeros *a* e *b*  igual a -9 e a diferena entre esses nmeros  15. Qual  o valor de a2-b2?
 33. Observe esta expresso do quadro:

<F->
!:::::::::::::::::::::
l`[3+`(x-y`)`].`[3-`(x-y`)`]_
h:::::::::::::::::::::j
<F+>

 Calculando o produto, que polinmio se obtm?
<R->

<163>
<P>
 Seo + (mais)

 Produtos notveis e potncias

  A mquina imaginria _`[no adaptada_`] desenhada simplifica expresses algbricas. Ela possui trs fases: na primeira, efetua os produtos notveis, na segunda, reduz os termos semelhantes, e, na ltima, determina os valores numricos da expresso quando so dados valores para as variveis.
  Vamos experimentar essa mquina?
<R+>
  Use a mquina e simplifique a expresso `(x+4`)2+`(x+2`)2-
  -`(x+3`)2-`(x+1`)2.
  Que valor voc daria para *x* na expresso algbrica do item anterior para obter 1042+
  +1022-1032-1012?
  Que valor numrico a mquina daria para a expresso algbrica do primeiro item, se voc substitusse *x* pelo valor que voc descobriu?
<P>
  Responda: Qual  o valor da soma que est neste quadro?
<R->

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l342+322-332-312_
h:::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 Produto do tipo `(x+a`).`(x+b`)

  H outros produtos notveis que aparecem no clculo algbrico.
  Um deles  o produto do binmio `(x+a`) pelo binmio `(x+b`). Ele resulta em um trinmio de grau 2, ou trinmio do 2 grau.

<R+>
 wr
  Acompanhe a situao a seguir e responda  pergunta.

_`[{o menino diz: "Qual  o resultado desse produto?"; na lousa est escrito: "`(x+a`).`(x+b`)=..."; a menina diz: "Vamos tentar resolver!"_`]
<R->

<164>
<P>
  O produto `(x+a`).`(x+b`)  uma expresso algbrica que podemos obter destes modos:

<R+>
  Usando reas de quadrados e retngulos.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "{m{n{p{q  um retngulo com lados medindo `(x+a`) e `(x+b`)."

<F->
M                Q  
!:::::::::::::::::: :   
l                  _  _  
l                  _x _  
l                  _  _
l                  =  _x+b 
l                  _  _  
l                  _b _  
h::::::::=:::::::::j :j 
N   x        a   P
r::::::::::::::::::w 
         x+a
<F+>

 rea de {m{n{p{q=`(x+a`).`(x+b`)

_`[{a professora diz_`]
  "Decompomos {m{n{p{q."
<P>
<F->
  M                Q
  !:::::::::::::::::  : 
  l         _        _   _  
  l x2    _ a.x    _x  _  
  l         _        _   _  
  l         _S      _   _  
Rr:::::::::w::::::::wV _x+b
  l b.x     _ a.b    _   _ 
  l         _Z      _ b _  
  h:::::::::j::::::::j  :j
  N   x        a   P      
  r::::::::::::::::::w
           x+a
<F+>

  Na decomposio feita, temos:

<R+>
 rea de {m{n{p{q= rea de {m{r{s{t+ rea de {t{s{v{q+ rea de {r{n{z{s+ rea de {s{z{p{v
 rea de {m{n{p{q=x2+a.x+b.x+a.b
<R->
 
  Como as figuras so iguais, as reas tambm so iguais:

 `(x+a`).`(x+b`)=x2+ax+bx+ab ou 
  `(x+a`).`(x+b`)=x2+`(a+b`).x+ab
<P>
  Na prtica, podemos escrever esse resultado da seguinte forma:

<R+>
 `(x+a`).`(x+b`)=x2+S.x+P
 S -- a+b -- Soma de *a* com *b*
 P -- a.b -- Produto de *a* por *b*

  Usando o esquema da multiplicao de polinmios.
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Temos aqui o produto `(x+a`).`(x+b`)"

<R+>
<F->
              x+a
             x+b
:::::::::::::::::
            bx+ba
+         x2+xa
:::::::::::::::::
    x2+bx+xa+ba
 ou x2+ax+bx+ab
ou x2+a+bx+ab
<F+>

<165>
<P>
  Veja dois exemplos:
 1) Calcule o produto `(x+6`).
  .`(x+3`).
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Podemos usar o esquema da multiplicao."

<F->
          x+6
         x+3
::::::::::::::
       3x+18
+     x2+6x
::::::::::::::
  x2+9x+18
<F+>

  Podemos calcular aplicando a regra prtica:
 
<R+>
`(x+6`).`(x+3`)  do tipo `(x+a`).
  .`(x+b`), em que a=6 e b=3.
<R->
<P> 
  O resultado  do tipo x2+Sx+P:

 S=a+b=6+3=9
 P=a.b=6.3=18

  Portanto, `(x+6`).`(x+3`)=
 =x2+9x+18.

<R+>
 2) Calcule o produto `(x-9`).`(x+7`) usando a regra prtica.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  " do tipo `(x+a`).`(x+b`) com a=-9 e b=7."

<R+>
 `(x+a`).`(x+b`)=x2+Sx+P
 S=a+b=-9+7=-2
 P=a.b=`(-9`).7=-63
<R->

  Portanto, `(x-9`).`(x+7`)=x2-
 -2x-63.

<R+>
 O produto de `(x+a`) por `(x+b`)  do tipo x2+S.x+P, em que S 
<P>
  representa a soma a+b e P, o produto a.b.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 34. Observe a figura e responda:

<F->
     a       #:d   
!:::::::::::::::::    
l         _        _
l         _        _ 
l         _        _ a
l         _        _  
r:::::::::w::::::::w  
l         _        _
l         _        _ #,d
h:::::::::j::::::::j 
<F+>

 a) Quais so os dois binmios cujo produto est sendo representado nessa figura?
 b) Qual  o produto desses binmios?

 35. Identifique as sentenas verdadeiras e corrija as falsas.
 a) `(x+6`).`(x+2`)=x2+12x+8
 b) `(x-4`).`(x-7`)=x2-11x+28
 c) `(x-10`).`(x+9`)=x2-x-90
 d) `(x+5`).`(x-12`)=x2-12x+60

 36. Que trinmio do 2 grau  o resultado de `(x-5`).`(x+8`)?
 
 37. Calcule estes produtos:
 a) `(x-8`).`(x-13`) 
 b) `(y-15`).`(y+10`) 
 c) `(z+18`).`(z-7`)
 d) `(a+#:e`).`(a+#;e`)

 38. Que monmio deve ser adicionado ao binmio `(x2-80`) para que ele seja o resultado do produto `(x-8`).`(x+10`)?
 39. A e B so dois binmios. Consulte este quadro e determine qual  o binmio B.
<P>
<F->
!:::::::::::::::::::
lA.B=x2+10x+16_
lA=x+2            _
h:::::::::::::::::::j
<F+>

 40. O produto de dois binmios  x2-6x-27, dos quais um  igual a x+3. Determine o outro.
<R->

<166>
 Cubo da soma de dois termos

_`[{o professor diz_`]
  "Qual  o cubo da soma `(a+b`)?"

_`[{o menino pensa_`]
  "Ser que d certo calcular `(a+b`)2.`(a+b`)?"

  A expresso `(a+b`)3  igual a `(a+b`)2.`(a+b`). Determinamos primeiro o quadrado da soma:

 `(a+b`)3=`(a+b`)2.`(a+b`)=`(a2+
  +2ab+b2`).`(a+b`).
<P>
  Em seguida, efetuamos `(a2+
 +2ab+b2`).`(a+b`):

<F->
              a2+2ab+b2
                         a+b
:::::::::::::::::::::::::::::
         a2b+2ab2+b3
+        a3+2a2b+ab2
:::::::::::::::::::::::::::::
 a3+3a2b+3ab2+b3 
<F+>

  Decompondo paraleleppedos e cubos e calculando seus volumes, temos uma interpretao geomtrica do cubo da soma de dois termos. Observe as figuras:

<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
 Um cubo cuja aresta  igual a `(a+b`); embaixo est escrito: "Volume =`(a+b`)3". Ao lado, este cubo est decomposto em dois cubos menores e seis paraleleppedos; embaixo est escrito: "Volume =a3+3a2b+
  +3ab2+b3."
<P>
`(a+b`)3=a3+3a2b+
  +3ab2+b3
 a -- 1 termo
 b -- 2 termo
 a3 -- cubo do 1 termo
 3a2b -- trs vezes o produto do quadrado do 1 termo pelo 2 termo 
 3ab2 -- trs vezes o produto do 1 termo pelo quadrado do 2 termo
 b3 -- cubo do 2 termo

 `(a+b`)3  um produto notvel.

<167>
 wr
  Efetue em seu caderno `(2a+3`)3.

 O cubo da soma de dois termos  igual ao cubo do primeiro termo, mais trs vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais trs vezes o produto do primeiro termo pelo 
<P>
  quadrado do segundo e mais o cubo do segundo termo.
<R->

 Cubo da diferena de dois termos

<R+>
_`[{quatro crianas conversam; contedo a seguir_`]
 1 criana: "Como se calcula o cubo da diferena `(a-b`)?"
 2 criana: Ela pensa: "`(a-b`)3?"
 3 criana: " parecido com o cubo da soma de *a* com *b*?"
 4 criana: "Deve ser `(a-b`)2.`(a-b`).
<R->

  Veja:

 `(a-b`)3=`(a-b`)2.`(a-b`)=`(a2-
  -2ab+b2`).`(a-b`)

_`[{a menina diz_`]
  "Multiplicamos `(a2-2ab+
 +b2`) por `(a-b`)."
<P>
<R+>
<F->
             a2-2ab+b2
                        a-b
::::::::::::::::::::::::::::
       -a2b+2ab2-b3
+       a3-2a2b+ab2
::::::::::::::::::::::::::::
a3-3a2b+3ab2-b3 
<F+>

 `(a-b`)3=a3-3a2b+3ab2-
  -b3
 a -- 1 termo
 b -- 2 termo
 a3 -- cubo do 1 termo
 3a2b -- trs vezes o produto do quadrado do 1 termo pelo 2 termo
 3ab2 -- trs vezes o produto do 1 termo pelo quadrado do 2 termo 
 b3 -- cubo do 2 termo

 wr
  Qual  o cubo de a-2b?
<P>
 O cubo da diferena de dois termos  igual ao cubo do primeiro termo, menos trs vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais trs vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo e menos o cubo do segundo termo.
<R->

<168>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 41. Faa uma tabela como esta e complete-a.

<F->
_`[{tabela adaptada em seis colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Cubo do binmio
2 coluna: Cubo do 1 termo
3 coluna: 3 vezes o quadrado do 1 termo pelo 2 termo
4 coluna: 3 vezes o 1 termo pelo quadrado do 2 termo
5 coluna: Cubo do 2 termo
6 coluna: Resultado
<F+>

<F->
:::::::::::::::::::::::::
2x+53   _  _  _  _  _     
::::::::::::::w::w::w::w::w:::
3x-4z3  _  _  _  _  _     
::::::::::::::w::w::w::w::w:::
2a2+a3_  _  _  _  _      
::::::::::::::w::w::w::w::w:::
x2-x3   _  _  _  _  _
::::::::::::::j::j::j::j::j:::
<F+>

 42. Determine o cubo de `(2y+1`).
 43. Neste cubo _`[no adaptado_`] a medida da aresta  representada pelo binmio `(a+2b`). Obtenha um polinmio que represente o volume desse cubo.
 44. Calcule `(x-3y`)3.

 45. Obtenha as potncias a seguir:
 a) `(2m~3+1`)3
 b) `(a2b-a`)3
<P>
 46. Efetue as operaes indicadas e represente esta expresso do quadro em uma forma reduzida.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l`(a+c`)3-a.`(a+c`)2-c.`(a-c`)2_
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 47. Se P=x3-3x2-2 e Q=3x+1, a expresso P+Q  igual a `(x-2`)3 ou igual a `(x-1`)3?
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 48. Considere os termos 3m e *n*.
 a) Escreva a expresso que indica o cubo da diferena desses dois termos.
 b) Desenvolva a expresso obtida no item *a*.
<P>
 49. Efetue as expresses utilizando os produtos notveis:
 a) `[`(a+b`)+c`].`[`(a+b`)-c`]
 b) `(x-y+z`).`(x-y-z`)

 50. Dona Alice confecciona tapetes. Ela j tem, quase pronto, um lindo tapete quadrado. Ana quer comprar o tapete, mas pediu para dona Alice aumentar 10 cm em cada lado. De quanto ser o aumento na rea do tapete?
 51. Qual  a forma reduzida da expresso algbrica `(x+3y`)2+
  +`(3x-y`)2?
 52. Considere os binmios nos quadros.

<F->
!::::::::::::::::::
lA=a-2 e B=#:b-a_
h::::::::::::::::::j
<F+>

 Que expresso algbrica corresponde a A2-4B?
<P>
 53. Simplifique a expresso `(x-2y`)3-`(x3+y3) e calcule seu valor numrico para x=1 e y=-1.

<169>
 54. Copie as expresses algbricas a seguir. Substitua a ... para que as expresses sejam trinmios quadrados perfeitos.
 a) a2+4a+...
 b) 4x2+4x+...
 c) m2-...+9
 d) 9y2-12y+...

 55. Na figura, as reas dos retngulos e do quadrado foram utilizadas para mostrar a igualdade:

 4xy+`(x-y`)2=`(x+y`)2

<F->
!::::::::
r::::::w _
l _     _ _
l _     _ _
l _     _ _
l _:::::j:w
h:j:::::::j
<F+>
 Copie a figura e indique os lados que representam *x* e *y*.
<R->

 Seo + (mais)

 Expresses cruzadas

  Nesta cruzadinha, monmios completam as horizontais e as verticais.
<R+>
  Desenhe um quadriculado como este em seu caderno e escreva um monmio em cada quadrinho.
<P>
<F->
     1  2  3  4  5
   !:::::::::::::::
1 l_   _ - _   __
   r:::w:::w:::w:::w:::w
2 l   _ + _   _ + _   _
   r:::w:::w:::w:::w:::w
3 l - _   _ - _   __
   r:::w:::w:::w:::w:::w
4 l   _ + _   ___
   r:::w:::w:::w:::w:::w
5 l + _   _ + _   __
   r:::w:::w:::w:::w:::w
6 l   _ + _   _ - _   _
   r:::w:::w:::w:::w:::w
7 l_   __   __
   h:::j:::j:::j:::j:::j
<F+>

 Horizontal
 1. O produto a.`(a-1`).`(a+1`).
 2. O quadrado de `(x+2`).
 3. A expresso -3.`(2a+1`).
  .`(2a-1)-6 na forma reduzida.
 4. O produto y.`(6x+1`).
 5. A expresso `(a+50`).`(a-2`)+
  +102 na forma simplificada.
 6. A expresso `(3y-2`)2 na forma simplificada.
<P>
 7. O quadrado de 8. O valor de *x* para que o binmio x-1 seja igual a zero.

 Vertical
 1. O quadrado de `(x-3y`).
 2. O cubo de `(a+4`).
 3. O quociente `(48x2+12xy-
  -48x`)`(-12x`).
 4. O quociente `(a2-9`)`(a-3`). O produto `(a+1`).`(a-1`).
 5. O valor numrico de `(x-36`)2 para x=38. O monmio que adicionado a 36+y2 seja igual a `(6+y`)2.
<R->

 Troque ideias e resolva

  Escolha dois nmeros reais cuja diferena seja igual a 8 unidades e mostre em seu caderno que a diferena entre seus quadrados  8 vezes a soma desses nmeros.

               ::::::::::::::::::::::::

<170>
<P>
 2 -- Fatorao de polinmios

  Um nmero pode ser decomposto em um produto de outros nmeros. Observe, por exemplo, o nmero 24:

 212; 64; 226; 233.

  Os produtos 212, 64, 226 e 233 so formas fatoradas de 24 ou fatoraes de 24.
  Do mesmo modo, existem polinmios que podem ser decompostos em um produto de outros polinmios. Por exemplo:
<R+>
  A rea do retngulo {a{b{c{d pode ser representada por ac+bc ou c.`(a+b`). O produto c.`(a+b`)  uma forma fatorada do binmio ac+bc.
<P>
<F->
  A     a       b  D
  !:::::::::::::::::    
  l           _      _  
c l     ac    _  bc  _ 
  l           _      _  
  h:::::::::::j::::::j 
  B                C
<F+>

  A rea do retngulo {e{f{g{h pode ser representada por ac+bc+ad+bd ou `(a+b`).`(c+d`). O produto `(a+b`).`(c+d`)  uma forma fatorada do polinmio ac+bc+ad+bd.

<F->
  E    a        b  H
  !:::::::::::::::::    
  l    ac   _   bc   _ 
c l         _        _ 
  r:::::::::w::::::::w  
  l         _        _
  l         _        _ 
d l    ad   _   bd   _ 
  l         _        _ 
  h:::::::::j::::::::j
  F                G 
<F+>

  Analise esta situao:

_`[{duas crianas conversam; contedo a seguir_`]
 Joo diz: "Aline, escreva na forma fatorada o polinmio que est no quadro."; no quadro est escrito: "2x2+5x-12"
 Aline diz: "Parece difcil!"
 Joo diz: "Uma pista: x+4  um dos fatores."
 Aline diz: " uma boa pista, Joo."

<171>
 wr
  Faa o que Joo pediu.
<R->

  Como o binmio x+4  um dos fatores, dividir o polinmio 2x2+5x-12 por x+4  um dos caminhos para se obter o outro fator.

<R+>
 ?2x2+5x-12*?x+4*=2x+3 resto 0
 2x2+5x-12=`(x+4`)`(2x-3`)
<R->
<P>
  O produto `(x+4`).`(2x-3`)  uma forma fatorada do polinmio 2x2+5x-12.
  Fatorar um polinmio escrito na forma de uma soma algbrica  transform-lo em um produto de polinmios.
  Escrever polinmios em uma forma fatorada ser til, por exemplo, para resolver equaes, determinar razes e em situaes de clculo algbrico.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 56. O retngulo {p{a{r{e foi decomposto em dois outros: {p{a{b{c e {c{b{r{e.
<P> 
<F->
P          C    E
!:::::::::::::::::    
l           _      _  
l           _      _ 4  
l           _      _  
h:::::::::::j::::::j 
A   8a   B 5 R
<F+>

 a) Represente a rea do retngulo {p{a{r{e por um binmio que seja a soma das reas dos outros dois retngulos.
 b) Quais so os termos desse binmio?
 c) Qual  uma forma fatorada desse binmio?

 57. Observe a figura a seguir e escreva:
<P>
<F->
!::::::::: : 
l         _  _
l         _ a_
l         _  _
l         _  _a+b
r:::::::::w  _
l         _ b_ 
l         _  _
h:::::::::j :j
     a
<F+>

 a) um polinmio que represente sua rea.
 b) esse polinmio em uma forma fatorada.

 58. Observe a figura e escreva:
<P>
<F-> 
!:::::::::::::  ::
l         _    _    _
l         _    _    _
l         _    _3x _
l         _    _    _ 3x+2
r:::::::::w::::w    _
l         _    _    _
l         _    _2  _
h:::::::::j::::j  ::j
    3x      2
r::::::::::::::w
      3x+2
<F+>

 a) um polinmio que represente sua rea.
 b) esse polinmio em uma forma fatorada.

 59. Forme pares com as expresses algbricas copiando cada polinmio com sua forma fatorada:

 Polinmios:
 16x2-32xy
 16x2-64y2
 -16x2+32xy
 16x2-64xy+64y2
<P>
 Forma fatorada:
 `(4x-8y`)2
 `(4x-8y`).`(4x+8y`)
 4x.`(4x-8y`)
 -4x.`(4x-8y`)
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<172>
 3 -- Casos de fatorao

  Para ajud-lo na tarefa de transformar um polinmio em um produto de outros polinmios, vamos estudar alguns casos de fatorao.

 Fator comum em evidncia

  A rea do retngulo {m{n{p{q  representada pelo binmio 7x+21.
<P>
<R+>
<F->
  M    x        3 Q
  !:::::::::::::::::    
  l           _      _  
7l   7.x    _ 7.3_7  
  l           _      _  
  h:::::::::::j::::::j 
  N                P
<F+>

 wr
  Escreva em seu caderno esse binmio em uma forma fatorada.
<R->

  Acompanhe a resoluo na qual utilizamos a propriedade distributiva da multiplicao em relao  soma algbrica.

_`[{a professora diz_`]
  "7  fator comum aos termos de `(7x+21`). Colocamos 7 em evidncia..."

<R+>
 7x+21=7.`(x+3`)
 x -- 7x7 
 3 -- 217

 7x+21=7.`(x+3`)
 7x+21 -- polinmio
 7.`(x+3`) -- forma fatorada
 7.`(x+3`)  uma forma fatorada de 7x+21.
<R->

  Nessa situao, dizemos que o fator comum 7 foi colocado em evidncia. Dividindo 7x+21 por 7, calculamos x+3, que  o outro fator.

 ?7x+21*7=x+3 resto 0

  O trinmio deste quadro tem fatores comuns.

<F->
!::::::::::::::::::::::::
l18m4-24m2n-12m2_
h::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<R+>
 wr
  Quais so esses fatores e qual  uma forma fatorada desse trinmio?
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Decompomos cada termo"

<R+>
 18m4-24m2n-12m2
 18m4 -- 6.3.m2.m2
 24m2n -- 6.4.m2.n
 12m2 -- 6.2.m2

 6.3.m2.m2-6.4.m2.n-6.
  .2.m2=6.m2.3.m2-6.
  .m2.4.n-6.m2.2=
 6m2  fator comum aos termos.
  =6m2.`(3m2-4n-2`)
<R->

  Colocando 6m2 em evidncia, temos:

<R+>
 18m4-24m2n-12m2=6m2.
  .`(3m2-4n-2`)
 6m2.`(3m2-4n-2`) -- forma fatorada
<R->

<173>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 60. Observe este binmio. 

 54ma2-9b

 a) Quais so os termos desse binmio?
 b) Quais so os fatores comuns a esses termos?
 c) Escreva uma forma fatorada desse binmio.

 61. Considere o polinmio:

 12x4y2-48x3y2+
  +60x2y5

 a) Quais so seus termos?
 b) Quais so os fatores comuns das partes numricas desses termos?
 c) Quais so os fatores comuns das partes literais desses termos?
 d) Escreva uma forma fatorada desse polinmio.

 62. Escreva uma forma fatorada do binmio 16x2-32xy.
<P>
 63. Fatore o polinmio 18a2b-27a3b+
  +36a4b, colocando o fator comum em evidncia.

 64. Fatore os polinmios a seguir.
 a) 15a3-25a2+30a
 b) -14x3y2-16xy5-10xy2
 c) -#,dx2y-#,dxy2
 d) #:ex3-#!ex5y2+#:ex2

 Problema resolvido

 65. Fatore a expresso do quadro: 

<F->
!::::::::::::::::::::::::
lx.`(2a-1`)-5.`(2a-1`)_
h::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 x.`(2a-1`)-5.`(2a-1`)=
  =`(2a-1`).`(x-5`)
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "2a-1  o fator comum."
<P>
<R+>
 Portanto, colocando `(2a-1`) em evidncia, temos:
 
 x.`(2a-1`)-5.`(2a-1`)=
  =`(2a-1`).`(x-5`).
 `(2a-1`).`(x-5`) -- forma fatorada

 Resposta: Uma forma fatorada de x.`(2a-1`)-5.`(2a-1`)  `(2a-1`).`(x-5`).

 66. Represente esta expresso em uma forma fatorada: 

 9.`(b-5`)-a.`(b-5`)

 Fatorao por agrupamento

_`[{trs crianas conversam; contedo a seguir_`]
 O menino diz: " possvel fatorar esse polinmio?"; no quadro est escrito: "ax+2a+bx+2b"
<P>
 A menina diz: "No existem fatores comuns a todos os termos."
 Outro menino diz: "Como ser uma forma fatorada?"

<174>
 wr
  Procure escrever em seu caderno o polinmio ax+2a+bx+2b em uma forma fatorada.
<R->

  Observando a expresso algbrica, dada na situao anterior, percebemos que  possvel agrupar os termos de dois em dois; por exemplo, ax com 2a e bx com 2b.

<R+>
 ax e 2a

 Fator comum: *a*.
 Fatorao:
 ax+2a=a.`(x+2`).

 bx e 2b

 Fator comum: *b*.
 Fatorao:
 bx+2b=b.`(x+2`).
<R->
<P>
  Primeiro fatoramos agrupando os termos e, em seguida, colocando em evidncia o binmio comum.

<R+>
 ax+2a+bx+2b=a.`(x+2`)+b.`(x+2`)=
 ax+2a -- a.`(x+2`)
 bx+2b -- b.`(x+2`)
 `(x+2`)  o fator comum. 
  =`(x+2`).`(a+b`)
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Colocamos `(x+2`) em evidncia."

<R+>
 ax+2a+bx+2b=`(x+2`).`(a+b`)
 ax+2a+bx+2b -- polinmio
 `(x+2`).`(a+b`) -- forma fatorada
<R->

  Podemos tambm agrupar os termos da seguinte maneira: ax com bx e 2a com 2b. 
<P>
<R+>
 ax e bx

 Fator comum: *x*.
 Fatorao:
 ax+bx=x.`(a+b`).

 2a e 2b

 Fator comum: 2.
 Fatorao:
 2a+2b=2.`(a+b`).
<R->

  Fatorando o polinmio, temos:

<R+>
 ax+2a+bx+2b=ax+bx+2a+2b=
  =x.`(a+b`)+2.`(a+b`)=`(a+b`).`(x+2`)
 `(a+b`)  o fator comum.

 ax+2a+bx+2b=`(a+b`).`(x+2`)
 ax+2a+bx+2b -- polinmio
 `(a+b`).`(x+2`) -- forma fatorada
<R->

  O polinmio ax+2a+bx+2x foi fatorado por agrupamento de seus termos.

<175>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 67. Considere a expresso escrita no quadro.

<F->
!::::::::::::::::::::::::
l 6x2y-12x+xy2-2y _
h::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 a) Quais so os fatores comuns aos termos 6x2y e 12x?
 b) Quais so os fatores comuns aos termos xy2 e 2y?
 c) Escreva uma forma fatorada de 6x2y-12x e de xy2-2y.
 d) Escreva uma forma fatorada de 6x2y-12x+xy2-2y.

 68. Escreva uma forma fatorada do polinmio a3+a2b+ab+
  +b2.
<P>
 69. Fatore os polinmios:
 a) am-bm+an-bn
 b) x2y+x3+3y+3x

 Problema resolvido

 70. Qual  uma forma fatorada deste polinmio?

 8m2n-mn+8m-1
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Vamos agrupar, de dois em dois, os termos desse polinmio."

<R+>
 8m2n-mn+8m-1=
  =8.m.m.n-m.n+1.8.m-1=
  =mn.`(8m-1`)+1.`(8m-1`)=
  =`(8m-1`).`(mn+1`)
 `(8m-1`)  o fator comum.
 8m2n-mn+8m-1=`(8m-1`).`(mn+1`)
 `(8m-1`).`(mn+1`) -- forma fatorada

 Resposta: Uma forma fatorada de 8m2n-mn+8m-1  `(8m-1`).`(mn+1`).
<P>
 71. Fatore os polinmios.
 a) 12x3+6x2+2x+1
 b) 2~3a2-2~3a+a-1

 Problema resolvido

 72. Fatore o polinmio a seguir e calcule seu valor numrico para 3x+1=-10 e 7y-4=8.

 21xy+7y-12x-4

 Podemos fatorar o polinmio agrupando 21xy com 7y e -12x com -4.

 21xy+7y-12x-4=3.x.7.y+7.y-
  -4.3x-4=7y.`(3x+1`)-4.
  .`(3x+1`)=
 `(3x+1`)  o fator comum.
  =`(3x+1`).`(7y-4`)
 21xy+7y-12x-4=`(3x+1`).
  .`(7y-4`)
 `(3x+1`).`(7y-4`) -- forma fatorada
<p>
 Obtemos o valor numrico do polinmio substituindo 3x+1 por -10 e 7y-4 por 8.
 Valor numrico =-10.8=-80.
 
 Resposta: Fatorando o polinmio 21xy+7y-12x-4, obtemos `(3x+1`).`(7y-4`), cujo valor numrico para os valores dados  igual a -80.

<176>
 73. Represente o polinmio a seguir em uma forma fatorada e calcule seu valor numrico para 5m2-n=-#,c e m3+2=6.

 5m5+10m2-m3n-2n
<R->

 Seo + (mais)

 Decifrando um enigma

  Renato  o irmo caula de Jlia. Os dois inventaram um enigma e desafiaram uma amiga a solucion-lo.
<P>
_`[{jlia diz_`]
  "O objetivo do enigma  encontrar um nmero."

_`[{a amiga pensa_`]
  "?!?"

  Voc  capaz de decifrar o enigma?

_`[{renato diz_`]
  "Preste ateno nas informaes e tente decifrar o enigma."

<R+>
 ENIGMA
 3j2+jr2-3jr-r3
  j -- idade de Jlia;
  r -- idade de Renato;
  Renato  7 anos mais novo que Jlia, e 3j+r2  igual a 57.
<R->
<P>
 Fatorao da diferena de dois 
  quadrados

  Fatoramos uma diferena entre dois quadrados seguindo o caminho de volta feito para obter essa diferena quando estudamos produtos notveis, ou seja, vamos transform-la no produto de uma soma por uma diferena.
  Na figura, {a{b{c{d  um quadrado e *a* representa a medida do lado.

_`[{figura adaptada_`]
 Legenda: 
 am -- canto quadrado amarelo

<R+>
<F->
   A          D
   !::::::::::::
   l            _
   l            _
   l            _ a
   r::::       _
   l    _       _
5 l am _       _
   h::::j:::::::j
   B 5       C
<F+>
<P>
 wr
  Eliminando o canto quadrado amarelo, que produto representa a rea da parte restante, na forma fatorada?
<R->

<177>
  Acompanhe a resoluo:

<R+>
 rea de {a{b{c{d -- rea do canto amarelo =a2-52=a2-25
<R->

  Tambm podemos calcular a rea da parte restante decompondo em retngulos o que restou do quadrado {a{b{c{d e somando as reas desses retngulos:

<F->
pcccccccccccccccc
l    a.`(a-5`)    _  
lM              _ 
h:::::::+::::::::w 
        l5`(a-5`)_ 
        lP      _  
        v--------#
<F+>

<R+>
 rea da parte restante = rea de M + rea de P
 rea da parte restante =a.`(a-5`)+5.`(a-5`)
 rea da parte restante =`(a-5`).`(a+5`)

 `(a-5`)  o fator comum.
<R->

  Como as figuras so iguais, as reas tambm so iguais. Portanto, podemos escrever:

 a2-25=`(a+5`).`(a-5`)
 a2-25 -- binmio
 `(a+5`).`(a-5`) -- forma fatorada

  Fatoramos uma diferena entre dois quadrados transformando-a em um produto de uma soma por uma diferena.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 74. Qual  o produto que se obtm fatorando a expresso #be-m6?
 75. Fatorando o binmio 81-y2, que produto se obtm?

 76. Observe este binmio: 16m4-a2.
 a) Escreva uma forma fatorada desse binmio.
 b) Qual  o valor numrico desse binmio para 4m2+a=40 e 4m2-a=8?

 77. Fatore os polinmios:
 a) 25x2-a2 
 b) x2y4-64 
 c) -121a2+b4 
 d) #",ajjx2y4-1

 78. Observe a expresso dada: 54a4-6b2.
 a) Existe algum fator comum aos termos dessa expresso?
 b) Colocando em evidncia os fatores comuns, que expresso se obtm?
 c) Escreva uma forma fatorada de 54a4-6b2.

 79. Fatore os polinmios:
 a) bx4-by2 
 b) 3-108a6

 80. Escreva uma forma fatorada do binmio `(100a-ay2`).
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<178>
 4 -- Fatorao de trinmios

  Os trinmios `(4a2+12a+9`) e `(x2+5x+6`), por exemplo, tm caractersticas especiais. Para fator-los verificamos primeiro se so trinmios quadrados perfeitos ou trinmios do 2 grau.

 Trinmio quadrado perfeito

  Observe a situao:

_`[{o professor diz_`]
  "Fatore estes polinmios. No quadro est escrito: 4a2+
 +12a+9; a2-10ab+25b2"
<P>
_`[{o menino pensa_`]
  "Como fator-los?"

<R+>
 wr
  Utilizando um dos casos de fatorao j estudados,  possvel fatorar os trinmios do quadro?
<R->

  Para fatorar 4a2+12a+9, verificamos se  um trinmio quadrado perfeito observando seus termos.
<R+>
  Identificamos dois termos que sejam quadrados perfeitos. Nesse caso, 4a2 e 9, pois 4a2=`(2a`)2 e 9=32.
  Verificamos se o dobro de 2~a.3  igual ao outro termo do trinmio.
<R->

<R+>
 4a2 e 9 -- quadrados
 2~a.2a e 3.3
 2.2a.3 -- duas vezes o produto de 2a por 3
<P>
 12a -- outro termo do trinmio dado
 Uma forma fatorada  o quadrado da soma de 2a com 3.

 4a2+12a+9=`(2a+3`)2
 4a2+12a+9 -- trinmio
 `(2a+3`)2 -- forma fatorada 
<R->

  4a2+12a+9  um trinmio quadrado perfeito e `(2a+3`)2  sua forma fatorada.
  Vamos verificar, agora, se a2-10ab+25b2  um trinmio quadrado perfeito:

<R+>
 a2 e 25b2
 a.a e 5b.5b
 #b.a.5b
 10ab -- outro termo do trinmio dado
 Uma forma fatorada  o quadrado da diferena entre *a* e 5b.
 a2-10ab+25b2=`(a-5b`)2
 a2-10ab+25b2 -- trinmio
 `(a-5b`)2 -- forma fatorada

<179>
<P>
 wr
  `(49m2-28mn+4n2`)  um trinmio quadrado perfeito. Qual  o valor numrico desse trinmio para 7m-2n=10?
<R->

  Uma forma fatorada desse trinmio  o quadrado da diferena entre 7m e 2n.

 49m2-28mn+4n2=`(7m-2n`)2

  Para 7m-2n=10, temos:

 49m2-28mn+4n2=`(7m-n`)2=
  =102=100

 Trinmio do 2 grau

  Observe o trinmio dado neste quadro: 

<F->
!:::::::::::::
l x2+5x+6 _
h:::::::::::::j
<F+>
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "No  trinmio quadrado perfeito."

_`[{o menino diz_`]
  "... mas pode ser fatorado!"

_`[{o outro menino diz_`]
  "Como?"

<R+>
 wr
  Encontre uma fatorao do trinmio dado.
<R->

  O trinmio x2+5x+6 no  um trinmio quadrado perfeito porque no tem dois termos que sejam quadrados perfeitos.
  Para fator-lo vamos utilizar novamente reas de quadrados e retngulos.
  Observando os termos de x2+5x+6, percebemos que o coeficiente de x2  1. Se existirem dois nmeros cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6, esse trinmio poder ser fatorado em um produto do tipo `(x+a`).`(x+b`).
<P>
<R+>
<F->
  !:::::::::  
  l         _  
x l   x2  _  
  l         _ 
  l         _ 
  h:::::::::w:::::::: 
       x    _        _2
            _   6   _  
            ::::::::j 
                3

Completando com retngulos
   
A                D             
!:::::::::::::::::    
l         _        _
l x2    _ 3.x   _x
l         _        _ 
l         _        _  
r:::::::::w::::::::w 
l 2.x    _ 3.#b  _2
l         _        _  
h:::::::::j::::::::j 
B   x        3  C
<F+>
<P>
 rea de {a{b{c{d=x2+3x+2x+
  +3.2
 rea de {a{b{c{d=x2+5x+6
<R->

<180>
  Podemos, tambm, escrever:

 rea de {a{b{c{d=`(x+3`).`(x+2`)

_`[{a professora diz_`]
  "O retngulo  o mesmo. As expresses para as reas so iguais."

<F->
A                D             
!::::::::::::::::: ::
l         _        _   _
l   x+3.x+2  _   _
l         _        _   _
l         _        _   _x+2
r:::::::::w::::::::w   _
l         _        _   _
l         _        _   _
h:::::::::j::::::::j ::j
B                C
r::::::::::::::::::w
        x+3
<F+>
<P>
 x2+5x+6=`(x+3`).`(x+2`)
 x2+5x+6 -- trinmio
 5x -- 3+2=5
 6 -- 3.2=6
 `(x+3`).`(x+2`) -- forma fatorada

  x2+5x+6  um trinmio do 2 grau e `(x+3`).`(x+2`)  sua forma fatorada.
  Veja outro exemplo:
  Qual  uma forma fatorada do trinmio a seguir?

 x2-7x+12

_`[{a professora diz_`]
  "Indicamos a soma e o produto."

<R+>
 x2-7x+12  um trinmio do 2 grau:
 Forma fatorada -- `(x+a`).`(x+b`)
 Soma =a+b=-7
 Produto =a.b=12
<R->
<P>
  Podemos encontrar os valores de *a* e de *b* elaborando uma tabela na qual listamos dois nmeros cujo produto seja 12:
 
<R+>
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]

<F->
!:::::::::::::::::
l a   _ b    _ a+b  _
r:::::w::::::w::::::w
l -1 _ -12 _ -13 _
r:::::w::::::w::::::w
l +1 _ +12 _ +13 _
r:::::w::::::w::::::w
l -2 _ -6  _ -8  _
r:::::w::::::w::::::w
l +2 _ +6  _ +8  _
r:::::w::::::w::::::w
l -3 _ -4  _ -7  _
h:::::j::::::j::::::j
<P>
a=-3
b=-4
a+b=-7
<F+>
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Comeamos analisando o produto. O produto  +12; logo, *a* e *b* tm sinais iguais."

  Fatoramos o trinmio escrevendo: x2-7x+12=`(x-3`).`(x-4`).

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 81. Observe o trinmio dado.

 36m4n2+12m2n+1

 a) Que termos desse trinmio so quadrados perfeitos?
<P>
 b) O polinmio 36m4n2+
  +12m2n+1  um trinmio quadrado perfeito?
 c) Escreva uma forma fatorada desse trinmio.

 82. O polinmio 4a4+81+
  +9a2  um trinmio quadrado perfeito?
<181>
 83. Escreva uma forma fatorada deste polinmio: 25m6+
  +10m3+1.

 84. Fatore os trinmios:
 a) y2-8y+16 
 b) x2y2+10xy+25

 85. Considere este trinmio e responda: 64x4-16x2y+y2.
 a) Qual  sua forma fatorada?
 b) Qual  o valor numrico desse trinmio para x=2 e y=2?
<P>
 c) Qual  o valor numrico desse trinmio para x=#:d e y=#,b?

 86. Considere o trinmio deste quadro:

<F->
!:::::::::::::::
l x2+13x+42 _
h:::::::::::::::j
<F+>

 a) Verifique se esse trinmio  quadrado perfeito.
 b) Existem dois nmeros cujo produto  o termo independente de *x* e cuja soma  o coeficiente de *x*. Quais so esses nmeros?
 c) Indique uma forma fatorada desse trinmio.

 Problema resolvido

 87. Que monmios podem ser acrescentados ao binmio 9x2+49 para que ele seja um 
<P>
  trinmio quadrado perfeito? Qual  esse trinmio?

 9x2 e 49 so quadrados perfeitos.
 9x2 -- 3x.3x
 49 -- 7.7
 Ento, para obtermos um trinmio quadrado perfeito podemos acrescentar os monmios: +2.3x.7=
  =+42x ou -2.3x.7=-42x.

 Resposta: Os monmios que podemos acrescentar so 42x ou -42x, para obtermos os trinmios 9x2+42x+49 ou 9x2-42x+49.

 88. Determine os monmios que podemos acrescentar aos binmios para obtermos trinmios quadrados perfeitos.
 a) 81x2+16 
 b) 49y4+1 
<P>
 c) y4+2y2~3
 d) a4~16+4a3
<R->

 Problema resolvido

 89.

_`[{a menina diz_`]
  "O produto de dois binmios  x2-2x-24. Quais so esses binmios?"

_`[{o menino diz_`]
  "Aceito o desafio!"

<R+>
 Se o produto  -24, ento *a* e *b* tm sinais diferentes.
 Para descobrir quais so esses binmios  preciso escrever o polinmio x2-2x-24 em uma forma fatorada do tipo `(x+a`).`(x+b`). Assim: a.b=-24 e a+b=-2
<P>
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]

<F->
!:::::::::::::::::
l a   _ b    _ a+b  _
r:::::w::::::w::::::w
l -1 _ +24 _ +23 _
r:::::w::::::w::::::w
l +1 _ -24 _ -23 _
r:::::w::::::w::::::w
l -2 _ +12 _ +10 _
r:::::w::::::w::::::w
l +2 _ -12 _ -10 _
r:::::w::::::w::::::w
l -3 _ +8  _ +5  _
r:::::w::::::w::::::w
l +3 _ -8  _ -5  _
r:::::w::::::w::::::w
l -4 _ +6  _ +2  _
r:::::w::::::w::::::w
l +4 _ -6  _ -2  _
h:::::j::::::j::::::j

a=+4
b=-6
a+b=-2
<F+>
<P>
 x2-2x-24=`(x+4`).`(x-6`)

 Resposta: Os binmios so `(x+4`) e `(x-6`).

 90. Fatore os trinmios:
 a) x2+11x+24
 b) x2-8x+12
 c) x2-3x-10
 d) x2-11x+18
 e) x2-x-6
 f) x2+x-30
<R->

<182>
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 91. No polinmio do quadro a seguir, *a* e *b* representam nmeros reais.

<F->
!::::::::::::::::::::::::
l a3-a2b+ab2-b3 _
h::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<P>
 Calcule o valor numrico desse polinmio, em que a-b=10 e a2+b2=292.

 Problema resolvido

 92. Qual  uma forma fatorada para este polinmio? 

 `(a+b`)2-49

 `(a+b`)2 e 49 so quadrados perfeitos. Veja: 
 `(a+b`)2-49
 `(a+b`)2 -- `(a+b`).`(a+b`) 
 49 -- 7.7
 `(a+b`)2-49=`(a+b+7`).`(a+b-7`)
 `(a+b+7`).`(a+b-7`) -- forma fatorada

 Resposta: Uma forma fatorada de `(a+b`)2-49  `(a+b+7`).`(a+b-
  -7`).

 93. Fatore estas expresses:
 a) `(x-2`)2-25
 b) `(5x+2`)2-4
<P>
 c) `(3ab-1`)2-1
 d) 12ax3-108axy2

 94. Fatore os polinmios a seguir, utilizando os vrios casos de fatorao.
 a) x4-y4
 b) 18a2b-2b
 c) 8x2-40x+50
 d) a2x-36x+2a2-72
 e) x3y-6x2y-16xy
 f) a3-7a2+12a

 95. Copie apenas os produtos que so iguais a zero, para x=4:
 a) `(x-3`).`(x+1`)
 b) `(x-3`).`(x-4`)
 c) `(x+#,d`).`(x-#,d`)
 d) x.`(x-4`)
 e) `(4x-1`).`(x+4`)
 f) `(2x-8`).`(x-1`)
 g) `(x-4`)2.`(x+8`)
 h) `(x+4`)2.`(x+8`)

 96. O produto da multiplicao de dois ou mais fatores ser igual a zero quando qualquer um de seus fatores for igual a zero. Assim, para determinar os valores de *x* para os quais o produto `(x-4`).`(x+7`) seja zero, supomos que x-4=0 ou x+7=0.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Escrevemos duas equaes para determinar o valor de *x*."

<R+>
 `(x-4`).`(x+7`)=0
 `(x-4`) -- fator 
 `(x+7`) -- fator
 x-4=0 -- x=4
 x+7=0 -- x=-7

 O produto  zero para x=4 ou para x=-7. Agora  a sua vez! Para que valores de *x* os produtos a seguir so iguais a zero?
 a) 3.`(x-18`)
 b) `(x-10`).`(x-15`)
 c) `(x+1`).`(x+#:b`)
 d) `(x+1`).`(x-3`).`(x-7`)

 97. Quais so os valores de *x* para os quais o valor numrico do trinmio x2-12x+32  igual a zero?
 98. Escreva um polinmio de 2 grau, com uma varivel, cujo valor numrico seja zero para o nmero 10.
<R->

<183>
 Troque ideias e resolva

  Existem dois valores de *x* para os quais o valor numrico do trinmio x2-x-56  zero.
  Quais so esses nmeros?

 Seo + (mais)

 Par ou mpar

<R+>
_`[{um casal de jovens conversa; contedo a seguir_`]
 O jovem diz: "Pense em dois nmeros inteiros consecutivos..."
 A jovem diz: "3 e 4, -2 e -1,..."
 O jovem diz: "Agora diga se o produto de dois nmeros inteiros consecutivos  par ou mpar."
 A jovem diz: "-20 e -19 so nmeros inteiros consecutivos. `(-20`).`(-19`)  par!"
<R->

  At aqui tudo bem, no  mesmo?
  O produto de dois nmeros inteiros consecutivos  sempre par.
  E a soma de um nmero com seu quadrado  par ou mpar?
  Vamos tomar como exemplo o nmero 29. A soma 292+29  um nmero par.
  Veja:

 292+29=29.`(29+1`)=29.30
 29 -- fator comum
 29.30 -- consecutivos
 30=2.15

  29.30 tem fator 2, portanto 29.30  um nmero par.

<R+>
 Se dois nmeros so consecutivos, um deles ser sempre par.

  Vamos generalizar?
<R->
<P>
_`[{a professora diz_`]
  "Se *n* representa um nmero inteiro qualquer... Voc seria capaz de explicar por qu?"

 n2+n  um nmero par.

               ::::::::::::::::::::::::

<184>
 5 -- Fraes algbricas

  As fraes algbricas so muito parecidas com as fraes numricas. Para as fraes algbricas, valem as mesmas propriedades das fraes numricas que j estudamos.
  Vamos conhecer agora a generalizao dos conceitos, das operaes e das propriedades das fraes algbricas.
  Paulo, Renato e Lus percorreram de bicicleta 8 km.

<R+>
_`[{paulo diz: "Eu fiz em 45 minutos!"; Renato diz: "E eu esqueci de marcar o tempo!"; Lus diz: "Eu levei 5 minutos a mais que Renato."_`]

 wr
  Que expresso representa a velocidade mdia de cada um?
<R->

  Vamos usar a letra *x* para representar o tempo gasto, em minutos, por Renato para fazer o percurso. Assim, x+5 representa o tempo de Lus.
  Utilizamos a informao dada para expressar a velocidade mdia de cada jovem, em quilmetros por minuto, da seguinte forma:

<R+>
 Paulo: #"de
 Renato: 8~x
 Lus: 8~?x+5*
 #"de --  uma frao numrica.
 8~x -- So fraes algbricas.
<R->

  Veja outros exemplos de fraes algbricas:
<P>
 ?x+3*~14x
 3xy~?4.`(x+3`)*
 1~?1-4xy+y2*

 Simplificao de fraes 
  algbricas

  As fraes algbricas podem ser simplificadas e operadas como as fraes numricas.

<R+>
_`[{dois jovens conversam; contedo a seguir_`]
 A jovem diz: "Que tal refrescar a memria, relembrando como se faz uma simplificao? Simplifique #:db."
 O jovem pensa: "!?"
 A jovem diz: "Fatore os termos e cancele os fatores comuns..."
 O jovem diz: "... Ah! legal!"
<R->

<185>
  Observe a simplificao de #:db:
<P>
 #:db=?2.3.5*~?2.3.7*=?1.
  .1.5*~?1.1.7*=#?g
 #:db=#?g

  Podemos simplificar as fraes algbricas procedendo da mesma forma. Nas simplificaes, consideramos os fatores comuns diferentes de zero.
  Exemplos:
<R+>
 1) Simplifique a frao algbrica 9xyz~5xzt.

 9xyz~5xzt=?9.x.y.z*~?5.x.z.
  .t*=?9.1.y.1*~?5.1.1.t*=
  =9y~5t
 9xyz~5xzt=9y~5t

 2) Que frao algbrica obtemos quando simplificamos ?4-a4*~?10a-5a3*?
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Fatoramos os termos da frao e cancelamos os fatores comuns."
<P>
<R+>
 ?4-a4* -- Diferena de 2 quadrados.
 ?10a-5a3* -- 5a  um fator comum.

 ?4-a4*~?10a-5a3*=?`(2+
  +a2`).`(2-a2`)*~?5~a.
  .`(2-a2`)*=?`(2+a2`).
  .1*~?5~a.1*=?2+a2*~5a
 ?4-a4*~?10a-5a3*=?2+
  +a2*~5a
<R->

 Vamos combinar

  O denominador de uma frao algbrica dever representar sempre um nmero diferente de zero.
<R+>
 3) Simplifique a frao ?6a-3*~?12-a*.
<R->

  Fatoramos os termos da frao e cancelamos os fatores comuns:
<P>
 ?6a-3*~?1-2a*=?3.`(2a-
  -1`)*~?`(-1`).`(2a-
  -1`)*=?3.1*~?`(-1`).1*=
  =3~-1=-3
 ?6a-3*~?1-2a*=-3

  S podem ser cancelados os fatores comuns ao numerador e ao denominador.

_`[{a professora diz_`]
  "Cuidados que voc deve ter no cancelamento."

<R+>
 4~8x=4~8.x=1~2x
 4  fator comum ao numerador e ao denominador. Pode ser cancelado.
 4~?8+4x*=4~?4.`(2+x`)*=
  =1~?2+x*
 4  fator comum ao numerador e ao denominador. Pode ser cancelado.
 4~?8+x*
 4 no  fator no denominador. No pode ser cancelado.
<R->

<186>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 99. Apresente um exemplo de frao numrica e outro de frao algbrica.
 100. A letra *y*  o numerador de uma frao algbrica cujo denominador tem uma unidade a mais que o triplo do numerador. Que frao algbrica  essa?

 101. Para encher uma caixa-d.gua de 1.000 litros uma torneira leva *t* minutos e uma outra, 20 minutos a menos.
 a) Que frao algbrica representa a quantidade de litros por minuto despejada pela primeira torneira?
 b) Que frao algbrica representa a quantidade de litros por minuto despejada pela segunda torneira?

 102. Entre as fraes algbricas do quadro, qual delas pode ser simplificada?

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::
l 20~?x+20* ou 20~?5x+20* _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 103. Que frao algbrica se obtm quando se simplifica 18a2b3~24a3b2?
 
 104. Identifique as expresses que representam nmeros inteiros e determine esses valores:
 a) ?3x2+27x+60*~?5.`(x+4`)+
  +x.`(x+4`)*
 b) ?y2-4y+4*~?4y2-2*
 c) ?-9x2+36x-36*~?x2-
  -4x+4*

 105. Simplifique as fraes algbricas x2z~xy2z e xyz3~y3z3. Compare as fraes que voc obteve. O que voc observa em relao a elas?
<P>
 106. Qual  a forma simplificada da frao algbrica 2a~?a2+3a*?
 107. Qual  a forma simplificada desta frao algbrica?

 ?3a3b4+
  +9a3b2x*~?4a2b5+
  +12a2b3x*

 108. Qual  o valor numrico da frao algbrica ?x2-36*~?x-
  -6* para x=9?
 109. Descubra os numeradores ou os denominadores das fraes algbricas a seguir que tm ?x-2*~4x como forma simplificada e anote essas fraes.

 ...~4x4; ?x4-4*~...; ?2x2-4x*~...; ...~?4x2+4x*.
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

 Aumenta ou diminui?

<R+>
  Desenhe em seu caderno uma tabela como esta e complete-a:

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]

 x       _ 4~x
:::::::::w::::::
 0,002  _ '''  
:::::::::w::::::
 0,02   _ '''  
:::::::::w::::::
 0,2    _ '''  
:::::::::w::::::
 2      _ '''  
:::::::::w::::::
 20     _ '''  
:::::::::w::::::
 200    _ '''  
:::::::::w::::::
 2.000  _ '''  
:::::::::w::::::
 20.000 _ '''  
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Procure utilizar uma calculadora."

<R+>
  Observe que os valores de *x* aumentam. O mesmo ocorre com os valores numricos da frao algbrica 4~x?
  Qual  o maior valor de *x* que faz sua calculadora registrar resposta zero para 4~x?
<R->

<187>
 Mnimo mltiplo comum `(m.m.c.`)

  Os conceitos e as propriedades sobre o mnimo mltiplo comum estudados para os nmeros valem tambm para os monmios e os polinmios.
  Veja estes exemplos:
 1) Calcule o m.m.c. dos monmios 
  18x2y e 24x3.

_`[{o menino diz_`]
  "Fatoramos os coeficientes dos monmios."

<R+>
 18x2y=2.32.x2.y
 24x3=23.3.x3
 m.m.c.=23.32.x3.y

 23.32.x3 -- fatores comuns com os maiores expoentes
 y -- fator no comum
 m.m.c.=72x3y -- Produto dos fatores comuns com os maiores expoentes pelo fator no comum.
<R->

  O m.m.c. dos monmios 18x2y e 24x3  72x3y.

<R+>
 2) Qual  o m.m.c. dos polinmios 6x-18, x2-9 e x2-6x+9?
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Fatoramos os polinmios."

<R+>
 6x-18=2.3.`(x-3`)
 x2-9=`(x+3`).`(x-3`)
 x2-6x+9=`(x-3`)2
 m.m.c.=2.3.`(x+3`).`(x-3`)2
 2.3.`(x+3`) -- fatores no comuns
 `(x-3`)2 -- fatores comuns com o maior expoente
 m.m.c.=6.`(x+3`).`(x-3`)2 -- Produto dos fatores no-comuns pelo fator comum com o maior expoente.
<R->

  O m.m.c. dos polinmios 6x-18, x2-9 e x2-6x+9  6.`(x+3`).`(x-3`)2.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 110. As letras *a* e *b* representam nmeros reais. Se a=32.5.7 e b=2.33.5, qual  o m.m.c. de *a* e *b*?
 111. Determine o mnimo mltiplo comum dos monmios 7xyz, 2xy2z2 e 14x2y2.
 112. Qual  o mnimo mltiplo comum dos polinmios a2+1, a4-1 e a2-1?
<P>
 113. Determine o mnimo mltiplo comum dos monmios dados em cada item.
 a) 15a2b2; 20ab3 
 b) 4x3; 12x2; 18x 
 c) 3x3; x2; 7x4
 d) 100ab3; 25a3b; 10a2b3

 114. Determine o mnimo mltiplo comum dos polinmios dados em cada item.
 a) 3x-1; 9x2-1
 b) x2-y2; x2+xy
 c) 4ax2-12ax; x2-6x+9
 d) a2-b2; a2+2ab+b2; a2-2ab+b2
 e) x2+5x+6; x2+6x+9; x+2
 f) a2y+5a2; 4ay2-
  -100a; 4y2-40y+100
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<188>
<P>
 6 -- Operaes com fraes 
  algbricas

 Adio e subtrao

  Observe esta situao:

_`[{o professor diz_`]
  "Calcule esta soma algbrica: 2x~3y-x~4y+3x~2y=..."

_`[{a menina pensa_`]
  "?"

_`[{o menino diz_`]
  "Ah! J sei!  como nas fraes numricas."

 wr
  Apresente sua soluo.

  Assim como nas fraes numricas, reduzimos as fraes algbricas ao mesmo denominador:
<P>
_`[{o menino diz_`]
  "O m.m.c. dos denominadores  12y."

 2x~3y-x~4y+3x~2y=
  =?4.2x-3.x+6.3x*~12y=
  =?8x-3x+18x*~12y=23x~12y
 2x~3y-x~4y+3x~2y=
  =23x~12y

  A soma algbrica  igual a 23x~12y.
  Observe outro exemplo:
  Calcule a soma algbrica de 2x-3~?x2+2x+1*+5~?x2-
 -1*-2~?x+1*.

_`[{o professor diz_`]
  "O m.m.c. dos denominadores  `(x+1`)2.`(x-1`)."

 ?2x-3*~?x2+2x+1*+5~?x2-
  -1*-2~?x+1*=?2x-3*~`(x+
  +1`)2+5~?`(x+1`).`(x-1`)*-
  -2~`(x+1`)=?`(x-1`).`(2x-3`)+
  +`(x+1`).5-`(x+1`).`(x-1`).
  .2*~?`(x+1`)2.`(x-1`)*=
  =?2x2-5x+3+5x+5-2x2+
  +2*~?`(x+1`)2.`(x-1`)*=
  =10~?`(x+1`)2.`(x-1`)*
 ?2x-3*~?x2+2x+1*+5~?x2-
  -1*-2~?x+1*=10~?`(x+1`)2.
  .`(x-1`)*

  Adicionamos ou subtramos fraes algbricas:
<R+>
  reduzindo as fraes a um denominador comum;
  efetuando as operaes entre os novos numeradores.
<R->

<189>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 115. Qual  o resultado de `(-#:aj~ab`)+`(+#=f~a`)?
 116. Qual  a diferena de `(-4~5x2y`)-`(-9~4x3`)?
 117. Que frao algbrica representa o permetro do retngulo {m{n{p{q?
<P>
<F->
M          Q
!::::::::::::
l            _
l            _ 2~3y
l            _
h::::::::::::j
N  7~3y P
<F+>

 118. Observe o quadro:

<F->
!::::::::::::::::::::
l #,f-7~a3+4~a _
h::::::::::::::::::::j
<F+>

 a) Obtenha a soma algbrica indicada.
 b) Qual  o valor numrico dessa soma para a=-3?

 119. Determine a frao algbrica que representa A, sabendo que ?x+y*~x-A=2y~x.
 120. Que frao algbrica adicionada  frao ?b+1*~b2 tem como resultado ?2a2+
  +b*~2a2b?
<P>
 121. Calcule a soma algbrica 12~?a+b*+12~?a-b*.
 122. Que frao algbrica subtrada de x~?x2-y2* resulta em y~?x2-y2*?
<R->

 Multiplicao e diviso

  Observe as atividades propostas:
<R+>
  Calcule o produto ?x2-2x+
  +1*~6xy.15x~?x2-1*
  Determine o quociente `(-14x2~15y`)`(+3x3~5y`)

 wr
  Resolva as atividades em seu caderno.
<R->

  Podemos calcular o produto efetuando, primeiro, o cancelamento dos fatores comuns. Para isso, fatoramos os polinmios x2-2x+1 e x2-1:
<P>
 ?x2-2x+1*~6xy.15x~?x2-
  -1*=?`(x-1`).`(x-1`)*~?6.x.y*.
  .15.x~?`(x+1`).`(x-1`)*=?`(x-1`).
  .1*~?2.1.y*.?5.1*~?`(x+
  +1`).1*=?5.`(x-1`)~?2y.`(x+
  +1`)*=?5x-5*~?2xy+2y*

  O produto de ?x2-2x+
 +1*~6xy.15x~?x2-
 -1*  igual a ?5x-5*~?2xy+
 +2y*.

<190>
  Para determinar o quociente:

_`[{a menina diz_`]
  "Multiplicamos o dividendo pelo inverso do divisor."

_`[{o menino diz_`]
  " isso a!"

 `(-14x2~15y`)`(+3x2~5y`)=
  =-?14.x2*~?15.y*.?5.
  .y*~?3.x3*=-?14.1*~?3.
  .1*.?1.1*~?3.x*
 `(-14x2~15y`)`(+3x2~5y`)=
  =-14~9x

  O quociente de `(-14x2~15y`)`(+3x3~5y`)  igual a -14~9x.
  Multiplicamos fraes algbricas:
<R+>
  determinando o sinal do produto;
  fatorando os termos das fraes algbricas e cancelando os fatores comuns aos numeradores e denominadores;
  calculando o produto que resulta aps o cancelamento.
<R->
  Dividimos uma frao algbrica por outra multiplicando a primeira frao pelo inverso da segunda.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 123. Qual  o produto de +11x~30y por -7x~y4?
 124. Qual  o quociente de +11a~b por -33b5~a2?
<P>
 125. Qual  o resultado de `(-12a~x3`).`(-4b~x2`)?
 126. Dividindo -18x~mn por -12~m, que frao algbrica obtemos?
 127. Qual  o produto de ?6a+1*~a2 por ?a-1*~7a?
 128. Multiplicando y~?y2-3* por y2~?y2+3*, que frao algbrica obtemos?
 129. O quociente entre duas fraes algbricas  igual a -10xy~3. Se o dividendo  -2x2y~9, qual  o divisor?

 130. Copie as sentenas substituindo o y por uma frao algbrica que as torne verdadeiras.
 a) y.a~?a2b-b3*=1~?2a+
  +2b*
 b) ya~?b-a*=-1

 Problema resolvido

 131. Simplifique a frao ??2+a*2a*~??5a+10*a2*
<P>
 Lembrando que uma frao representa uma diviso, temos:

??2+a*2a*~??5a+10*a2*=
  =?2a+a*~2a?5a+ 
  +10*~a2=?2+a*~2~a.
  .a2~?5a+10*=2+
  +a~2~a.a2~?5a+10*=
  =2+a~2~a.a2~5`(a+2`)=
  =#,b.a~5=a~10

 Resposta: Uma forma simplificada  a~10.

<191>
 132. Se A=?x2+14x+
  +49*~?2x2-98* e B=?3x2+30x+63*~?x2-
  -4x-21*, qual  o valor de AB?
 133. Qual  o resultado da diviso de ?x2-5x+6*~?2-x* por ?x2-7x+12*~?x-4*? 
 134. O produto de duas fraes algbricas  igual a 1. Se um dos fatores  -5~?1-2x*, qual  o outro fator?
<P>
 135. O produto de duas fraes algbricas  igual a -5ab~4. Se um dos fatores  22~3b, qual  o outro fator?

 136. Simplifique as fraes:
 a) ?x?x-3**~?3x?x2-9**
 b) ??10y-5x*ab*~??x2-
  -2xy*a*
<R->

 Leitura + (mais)

 Generalizao, produtos 
  notveis e fatorao

<R+>
 Afirmao
 x2-y2=`(x+y`).`(x-y`)
 *x* e *y* representam nmeros reais.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Posso usar essa igualdade para calcular a diferena entre quadrados..."
<P>
_`[{o professor diz_`]
  "...uma diferena entre os quadrados pode ser calculada de duas maneiras diferentes."

  Escolhemos dois nmeros para substituir *x* e *y*. Por exemplo, x=37 e y=7, e efetuamos os clculos.

 372=1.369
 72=49
 372-72=1.369-49
 372-72=1.320
 `(37+7`)=44
 `(37-7`)=30
 `(37+7`).`(37-7`)=44.30
`(37+7`).`(37-7`)=1.320

_`[{o menino diz_`]
  "E como escolher?"

  Logo, 372-72=`(37+7`).
 .`(37-7`)=1.320.
<P>
  A escolha depender de voc e da situao de clculo.
  Que tal experimentar com outros nmeros?
  A igualdade x2-y2=`(x+y`).
 .`(x-y`)  a generalizao de uma propriedade que vale para dois nmeros reais.
<R+>
  Agora  a sua vez! Qual o valor da expresso 1302-
  -1002?
<R->

<192>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Considere os binmios: M=2m+5 e N=#:b-m. Que expresso algbrica corresponde a M2-8N?
 2. Calcule 101"99 usando um produto notvel.
 3. Em uma fazenda, um pasto tem a forma de um quadrado. Os lados desse quadrado medem 2 km. O dono da fazenda vai aumentar o tamanho desse pasto, conservando a forma quadrada, como mostra a figura:
<R->

<F->
       2      n 
  !::::::::w:::::  
  l        _     _   
  l        _     _   
  l        _     _
  l        _     _   
  r::::::::j     _   
  l              _  
  l              _ 
n l              _ 
  l              _    
  h::::::::::::::j
         2+n
<F+>

<R+>
 2+n -- Medidas em quilmetros.

 Qual ser o aumento da rea correspondente ao novo pasto?
 4. Descubra para quais valores de *a*, *b* e *c* temos: 1~a+
  +1~b+1~c=1.
<R->
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "*a*, *b* e *c* representam nmeros naturais diferentes de zero."

<R+>
_`[{para as atividades de 5 a 7, pea orientao ao professor_`]

 5. Em uma folha de papel quadriculado, faa um desenho como este _`[no adaptado_`]. Faa uma reflexo do segmento de reta {p{r em relao ao eixo *y*. Quais so as coordenadas das extremidades da imagem de ^c?{p{r*?
 6. Corte uma tira de papel quadriculado e nessa tira faa um desenho como este _`[no adaptado_`]. A partir dele, obtenha outro, realizando um movimento de translao da seguinte forma: 

 Distncia: igual a 10 lados de um quadradinho. 
<P>
 Direo: igual ao da borda da tira. 
 Sentido: igual ao do eixo *x*. 

 Repita o procedimento de translao com a figura obtida e desenhe uma frisa.

 7. Em uma malha quadriculada de 1 cm por 1 cm, copie esta figura _`[no adaptada_`]. Desenhe uma figura fazendo, ao redor do ponto `(3,#a`), rotaes dessa figura:
 a) de 90 no sentido horrio;
 b) de 180 no sentido horrio;
 c) de 270 no sentido anti-horrio.

<193>
 8. (Saeb) Observe esta figura _`[no adaptada_`] que representa uma escada apoiada em uma parede. O topo da escada est a 7 m de altura e seu p est afastado 2 m da parede. A escada mede, aproximadamente:
<P>
 a) 5 m
 b) 6,7 m
 c) 7,3 m
 d) 9 m

 9. (Enem) Nos *X-Games Brasil*, em maio de 2004, o 
  skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado Mineirinho, conseguiu realizar a manobra denominada 900, na modalidade 
  *skate vertical*, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominao 900 refere-se ao nmero de graus que o atleta gira no ar em torno de seu prprio corpo, que, no caso, corresponde a:
 a) uma volta completa.
 b) uma volta e meia.
 c) duas voltas completas.
 d) duas voltas e meia.
 e) cinco voltas completas.

 10. (Saresp) Considere as expresses
<P>
 A=+3x4-2x2+1
 B=-3x4-2x2-1

  correto dizer que A+B equivale a:
 a) -6x4
 b) +6x4+2
 c) -4x2
 d) 0

 11. Simplificando a expresso algbrica `(x2-y2`)2-
  -`(x2+y2`)`(x2-y2`)+
  +2x2y2, obtemos:
 a) 2y4
 b) 0
 c) x4-y4
 d) 2x2y2

 12. A expresso algbrica que se adiciona ao binmio a2+b4 para obter o quadrado de a-b2 :
 a) -2ab2
 b) 2a2b
<P>
 c) 2ab2
 d) -2a2b

 13. O mnimo mltiplo comum dos monmios 18x3y, 21x2y2 e 45x4y :
 a) 3x4y2
 b) 45x4y2
 c) 18x2y4
 d) 630x4y2

 14. Qual  uma forma fatorada deste polinmio?

 a2-2ab+b2-c2

 a) `(a+b+c`)`(a-b-c`)
 b) `(a-b+c`)`(a+b+c`)
 c) `(a-b+c`)`(a-b-c`)
 d) `(a-b-c`)2

 15. A letra *t*  o denominador de uma frao algbrica cujo numerador excede o denominador em 12 unidades. Essa frao algbrica :
<P>
 a) t~?t+12*
 b) ?t+12*~t
 c) 12~?t+12*
 d) 12t~?t+12* 

 16. O valor numrico da frao algbrica ?5x+1*~?1-x3* para x=-2  igual a:
 a) -2
 b) -1
 c) 0
 d) 1

 17. Uma forma simplificada da frao algbrica ?9-b4*~?15b-5b3*  igual a:
 a) ?3-b2*~5b
 b) 5b~?3-b2*
 c) 5b~?3+b2*
 d) ?3+b2*~5b
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Quinta Parte